Cyklisk fyrhörning
•
Brahmaguptas formel
Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under talet, dock utan bevis.[1] Formeln har sedan bevisats på flera olika sätt av olika matematiker. [1]
Formel
[redigera | redigera wikitext]Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen
där
är semiperimetern (halva omkretsen).
Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form
Vilket även kan skrivas
Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel. Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.[1]
Bevis
[redigera | redigera wikitext]Bevis med trigonometriska samband
[redigera | redigera wikitext]I beviset används beteckningar från figuren till höger.
Den cykliska fyrhörningen
•
Cyklisk fyrhörning
En cyklisk fyrhörning (även kallad en cirkelfyrhörning) är en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel.
- För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar grader (en följd av randvinkelsatsen)
- Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel
- Om i en fyrhörning ABCD vinkeln ACD = vinkeln ABD är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel (det vill säga om vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och den andra diagonalen)
- En fyrhörning är inskrivningsbar i en cirkel om och endast om sidornas mittpunktsnormaler skär varandra i samma punkt (cirkelns medelpunkt - sidorna i en inskriven polygon är ju kordor och dessas mittpunktsnormaler går ju såklart genom medelpunkten)
Area
[redigera | redigera wikitext]Arean A av en cyklisk fyrhörning med sidorna a, b, c, d ges av Brahmaguptas formel
där semiperimetern s är
- .
Omskrivna cirkelns radie
[redigera | redigera wikitext]Om den cykliska fyrhörningens sidor betecknas och semiperimetern med är den omskrivna cirkelns radie
Diagonaler
[redigera | redigera wikitext]•
Fyrhörning
- "Fyrkant" omdirigerar hit. För andra betydelser, titta Fyrkant (olika betydelser).
Fyrhörning, fyrkant, tetragon alternativt kvadrangel (av latin: quadrangulum)[1][2][3][4][a] är enstaka fyrsidig polygon och ett av dem grundläggande geometriska formerna. ett fyrhörning begränsas av fyra räta linjer vars skärningspunkter bildar fyrhörningens hörn.
Arean hos ett fyrhörning kunna beräknas genom att dra en diagonal och beräkna arean från de numeriskt värde då uppkomna trianglarna.
Vinkelsumman i ett fyrhörning existerar °.[5]
Typer
[redigera | redigera wikitext]Några olika namngivna typer från fyrhörningar är:
- Rektangel – rätvinklig fyrhörning
- Kvadrat – rätvinklig fyrhörning tillsammans lika långa sidor
- Parallellogram – fyrhörning tillsammans parallella motsidor
- Romb – diagonalt rätvinklig fyrhörning med lika långa sidor
- Parallelltrapets – fyrhörning med numeriskt värde parallella motsidor
- Drake – diagonalt rätvinklig fyrhörning med numeriskt värde olika par av kongruenta närliggande sidor
- Cyklisk fyrhörning – fyrhörning såsom kan inskrivas i enstaka cirkel
- Tangentfyrhörning – fyrhörning inom vilken enstaka cirkel kunna inskrivas